Statistika Non-Parametrik (Tes U-Mann Whitney)

RANGKUMAN DAN CONTOH SOAL TES U MANN-WHITNEY 

(Tugas Mata Kuliah Statistika Non-Parametrik)

Oleh

Ayu Yuni Antika                    1214131017

Ade Agung Darmawan           1214131001

JURUSAN AGRIBISNIS

FAKULTAS PERTANIAN

UNIVERSITAS LAMPUNG

2014

A.  Fungsi

Uji U Mann-Whitney merupakan pengujian untuk mengetahui apakah ada perbedaan nyata antara rata-rata dua polulasi yang distribusinya sama, melalui dua sampel independen yang diambil dari kedua populasi.  Data untuk uji U Mann-Whitney dikumpulkan dari dua sampel yang independen.  Tes ini termasuk dalam tes-tes paling kuat di antara tes-tes nonparametrik.

Misalnya kita memiliki sampel-sampel dari dua popolasi, yaitu A dan B.  Hipotesis nol A dan B mempunyai distribusi sama.  Hipotesis pengganti, H₁ yang dipakai untuk menguji H₀ ialah A secara stokastik lebih besar daripada B.  Suatu hipotesis yang menunjukkan arah perbedaan.  Kita dapat menerima H₁ jika kemungkinan bahwa suatu skor dari A lebih besar dari suatu skor B lebih besar dari ½.  Jika a suatu observasi dari populasi A, dan b suatu observasi dari populasi B, maka H₁ adalah p (a > b) >1/2.  Jika fakta yang ada menunjang H₁, ini menunjukkan bahwa “sejumlah besar” elemen populasi A lebih tinggi daripada sebagian besar elemen populasi B.

Kita dapat juga meramalkan yang sebaliknya,, yakni B secara stokastik lebih besar daripada A.  jika demikian H₁ adalah  p (a > b) <1/2.  Jika didukung fakta, maka hal ini menunjukkan sebagian besar elemen B lebih tinggi daripada sebagian besar elemen A. Untuk tes dua sisi, yaitu ramalan perbedaan yang tidak menunjuk arah perbedaannya,  H₁ akan berbunyi p(a > b) ≠ ½.

Dari uraian tersebut, dapat lebih dijelaskan sebagai berikut:

Asumsi Hipotesis :

1.    Hipotesis alternatif

Distribusi data di dalam populasi A > B, atau sebaliknya

2.    Hipotesis nol

Diatribusi data di dalam populasi A =  distribusi data didalam populasi B          

Penerimaan hipotesis :

Hipotesis alternatif diterima bila probability nilai populasi A > dari populasi  B yakni : > ½  atau  p (A > B) > ½.  Atau sebaliknya  p(A< B) < ½.  Fungsi dari uji ini yaitu:

1.        Menguji signifikansi hipotesis komparatif dua sampel independen dengan data berbentuk “ordinal”.

2.        Merupakan alternatif lain bila uji “ t ” parametrik tidak dapat dilakukan.

3.        Populasi bisa bersumber dari dua populasi yang berbeda atau satu populasi tetapi ada dua kondisi yangg berbeda.

4.        Bila datanya berbentuk interval, maka harus dirubah lebih dahulu menjadi ordinal.

B.       Metode

Kita tetapkan n₁ = banyaknya kasus dalam kelompok yang lebih kecil dari dua kelompok independen yang ada, dan n₂ = adalah banyak kasus yang lebih besar.  Untuk menetapkan tes-U, kita harus menggabungkan observasi atau skor dari kedua kelompok, dan member ranking observasi tersebut dari urutan yang terkecil hingga terbesar. 

Misalkan kita fokus kepada kelompok yang memiliki kasus n_1. Harga U diperoleh dari beberapa kali suatu skor dalam kelompok n₂ kasus mendahului skor dalam kelompok yang banyak kasusnya n₁ dalam ranking itu.  sebagai contoh, diketahui n₁₌ 3 dan n₂= 4.

Skor E (Eksperimen)	9	11	15
Skor C (Kontrol)	6	8	10	13

 Langkah pertama : me-ranking skor di atas dari yang terkecil hingga terbesar.

6	8	9	10	11	13	15
C	C	E	C	E	C	E

Langkah ke dua: Hitung banyak skor E yang mendahului dalam kelompok C. Di dapat U= 0+0+1+2= 3. Skor E mendahului skor C sebanyak 3 kali.(U=3).

Sampel sangat kecil.  Jika baik n₁ atau pun n₂ tidak lebih besar daripada 8, table J dapat digunakan untuk menetapkan kemungkinan yang eksak yang berkaitan dengan terjadinya sembarang harga U yang seekstrem harga U observasi, di bawah H_0. Dalam contoh di atas, n_{1 =} 3, n₂₌ 4, dan U=3. Sub table untuk n_{2 =} 4 dalam table J menunjukkan bahwa U ≤ 3mempunyai kemungkinan kemunculan di bawah H_0.sebesar p =0,200. Kemungkinan-kemungkinan yang disajikan dalam table J adalah satu sisi.  Untuk tes dua sisi, harga p yang diberikan table itu harus dikalikan dua.

Jika U memiliki nilai yang besar sehingga tak muncul dalam sub table untuk harga observasi n_2. Itu dapat terjadi jika penelitian dipusatkan pada kelompok yang “salah” dalam menentukan U.  maka akan disebut U’.  Jika demikian kita dapat mengubah U’ menjadi U dengan rumus :

U = n₁n₂ – U’

n₂ antara 9 dan 20.  Jika n_{2 ­}(ukuran sampel yang lebih besar) lebih besar dari pada 8, maka harus menggunakan Tabel K.

Menghitung harga U.  Rumus umum dikenal 2 macam :

                                            

             U₁ = n₁ n₂ +  - R₁

Atau ekuivalen dengan

                                                      

             U₂ = n₁n₂ +  - E₂

                                                       

Keterangan :

n₁ = jumlah sampel 1(yang lebih kecil)

n₂ = jumlah sampel 2(yang lebih besar)

U₁ = jumlah peringkat 1

U₂ = jumlah peringkat 2

R₁ = jumlah rangking pd sampel n₁

E₂ = jumlah rangking pd sampel n₂

Sampel Besar (n_{2 ­}lebih besar daripada 20).  Kalau n₂ > 20, baik table J atau K tidak dapat digunakan. Selagi n₁ n₂ meningkat ukurannya, distribusi sampling U secara cepat mendekati distribusi normal, dengan:

Mean =  µ_U  =

Dan deviasi standar = _u =

Artinya, bila n₂ > 20 kita dapat menentukan signifikansi suatu harga U observasi dengan :

Z =  =

                                                        

Harga U praktis berdistribusi normal dengan mean nol dan varian satu.  Artinya, kemungkinan yang berkaitan dengan terjadinya, di bawah H_O, harga-harga yang seekstrem z observasi dapat ditentukan dengan melihat Tabel A.

Angka sama (Ties). Mann-whitney U-test menganggap bahwa nilai-nilai itu memiliki suatu distribusi yang kontinyu. Dengan pengukuran yang sangat tepat pada variable yang kontinyu, kemungkinan terjadinya angka yang sama adalah nol. Tetapi, dengan ukuran-ukuran yang relative kasar, yang biasa kita pergunakan dalam penelitian ilmiah mengenai perilaku, angka sama sangat mungkin terjadi. Kita anggap bahwa dua observasi yang menghasilkan angka sama sungguh-sungguh berbeda, tetapi bahwa perbedaan itu terlalu halus atau kecil sehingga tidak terlacak oleh pengukuran kita yang kasar itu.

Bila angka sama terjadi, kita berikan kapada masing-masing observasi (nilai) itu rata-rata rangking yang akan mereka miliki seandainya angka sama itu tidak terjadi.

Jika angka sama antara dua observasi atau lebih dalam kelompok yang sama, harga atau nilai U tidak terpengaruh. Tetapi jika angka sama itu muncul antara dua observasi atau lebih dan menyangkut kedua kelompok, harga atau nilai U terpengaruh. Sungguhpun akibat itu biasanya dapat diabaikan, suatu koreksi untuk angka sama tersedia untuk dipergunakan dengan pendekatan kurva normal yang kita pergunakan untuk sampel-sampel besar.

Akibat dari rangking-rangking yang sama adalah mengubah variabilitas himpunan rangking itu. Dengan demikian, koreksi untuk angka sama harus diterapkan pada standar deviasi distribusi sampling U. setelah dikoreksi untuk angka sama, standar deviasi itu menjadi :

∑T  diperoleh dengan menjumlahkan harga-harga T semua kelompok yang memiliki observasi-observasi berangka sama. Dengan koreksi untuk angka sama ini, kita dapatkan Z dengan :

Inilah langkah-langkah dalam pemakaian Tes U Mann-Whitney:

1.      Tentukan harga-harga n₁ dan n₂.

2.      Berilah ranking. Ranking 1 untuk angka yang paling rendah. Ranking tersusun mulai 1 hingga N= n₁+n₂.  Untuk observasi berangka sama, berikanlah rata-rata ranking yang berangka sama.

3.      Tentukan harga U, dengan cara menghitung atau menerapkan rumus.

4.      a. jika n₂ ≤ 8, gunakan table J.  untuk dua sisi, p dikalikan dua. Kalau harga U tidak ditunjukkan tabel J maka harga U adalah U’ dan harus di ubah dengan rumus.

b. jika n₂ antara 9 dan 20, ditentukan oleh table K. Kalau harga U observasi lebih besar dari n₁n₂/2, maka harga itu adalah U’. Terapkan rumus untuk mengubahnya.

c. jika n_{2 ­}> 20, maka kemungkinan berkaitan dengan suatu harga seekstrem harga U observasi dapat ditetapkan dengan menghitung harga z, seperti ditunjukkan rumus.  Kalu proporsi angka sama sangat besar, atau p yang diperoleh berdekatan dengan α, terapkan koreksi untuk angka sama, yakni kita pergunakan rumus 

atau

Z =  =

                                                        

C.  Contoh Soal

Sampel kecil

1.    Tabel Menunjukkan gaji yang diterima oleh 5 orang sarjana pendidikan dan 4 orang sarjana pertanian setelah 3 tahun bekerja yang diperoleh sari sampel secara random. SP sebagai control.

Tabel 1

SPd	SP
710	850
820	810
770	940
920	970
880

Penyelesaian:

H₀ : Bahwa setelah tiga tahun bekerja, gaji sarjana pendidikan tidak lebih rendah dibanding sarjana pertanian.

H₁ : Gaji sarjana pendidikan lebih rendah dibanding sarjana pertanian.

710	770	810	820	850	880	920	940	970
E	E	C	E	C	E	E	C	C

U = 2+3+5+5 = 15

U = n₁n₂ – U’

    = 4.5-15 = 5

Menetapkan tingkat signifikan. Misalkan α= 5 %. Sementara n₁ = 5 dan n₂ = 4, maka nilai kritisnya U=5. Karena U = 5, jadi n₁ = 4 dan  n₂ = 5. Cari di tabel J.

p(U) = 0,143, Sedangkan α = 0,05

Keputusan       : Terima H₀ karena  p(U) = 0,143 > α =  0,05

Kesimpulan     : Dengan tingkat kepercayaan 95% dapat disimpulkan bahwa gaji sarjana ekonomi tidak lebih rendah dibanding insinyur. .

2.    Ujian ekonomi makro diberikan kepada 7 orang mahasiswa kelas 1A yang dipilih secara random dan 5 orang mahasiswa kelas 1L dalam universitas yang sama. Dari hasil ujian yang diperoleh dari dua kelas yang berbeda tersebut menunjukkan nilai ujian tiap mahasiswanya sebagai berikut:

Kelas A : 68, 90, 73, 71, 65, 60, 82

Kelas B : 81, 86, 59, 64, 75

Ujilah dengan mann-whitney test apakah rata-rata nilai ujian kedua kelas diatas sama?

Jawab:

H₀   : Rata-rata nilai ujian ekonomi makro dua kelas tersebut sama

H₁   : Rata-rata nilai ujian ekonomi makro dua kelas tersebut tidak sama

α = 0,05

Wilayah kritik : p(U) ≤ 0,05

Kelas A sebagai kontrolnya.

59	60	64	65	68	71	73	75	81	82	86	90
E	C	E	C	C	C	C	E	E	C	E	C

U = 1+2+2+2+2+4+5 = 18

U = n₁n₂ – U’

   = (7)(5) – 18 = 17

Jadi U yang digunakan U yang terkecil yakni 17

Karena U = 17, jadi n₁ = 5 dan  n₂ = 7. Cari di tabel J.

p(U) = 0,500, Sedangkan α = 0,05

Keputusan       : Terima H₀ karena  p(U) = 0,500 > α =  0,05

Kesimpulan     : Dengan tingkat kepercayaan 95% dapat disimpulkan bahwa rata-rata nilai ujian ekonomi makro di dua kelas tersebut sama.

Contoh soal sampel sedang (9 ≤ n₁ ≤ 20 dan 9 ≤ n₂ ≤ 20)

3.    Kepala bagian personalia ingin mengetahui apakah ada perbedaan tinggi rendahnya tingkat IQ karyawan antara mereka yg berumur 40 tahun ke atas. Untuk itu diambilah sample secara random sebanyak 14 karyawan yg berumur sekitar 25 tahun sebagai kelompok 1, dan 12 karyawan yang berumur 40 tahun ke atas sebagai kelompok 2. Dari hasil pengetesan diperoleh hasil sebagai berikut:

Kelompok 1: 130, 128, 119, 125, 120, 132, 118, 110, 126, 123, 115, 129, 125, 133

Kelompok 2: 111, 116, 124, 109, 105, 127, 130, 125, 103, 122, 101, 110.

Ujilah dengan mann-whitney test apakah rata-rata tingkat IQ kedua kelompok karyawan diatas sama? (α=5%)

Jawab:

H₀  : Rata-rata IQ di kedua kelompok umur di atas sama

H₁  : Rata-rata IQ di kedua kelompok umur di atas tidak sama

α = 0,05. Jadi wilayah kritik : U = 51 (α = 0,05, tes satu sisi dari tabel K, n₁ = 12 dan n₂ = 14, maka U tabel = 51).

No	Kelompok 1	Ranking	Kelompok 2	Ranking
1	130	23,5	111	7
2	128	21	116	9
3	119	11	124	15
4	125	17	109	4
5	120	12	105	3
6	132	25	127	20
7	118	10	130	23,5
8	110	5,5	125	17
9	126	19	103	2
10	123	14	122	13
11	115	8	101	1
12	129	22	110	5,5
13	125	17
14	133	26
		R2 = 231		R1 = 120

             

_·       U₁ = n₁ n₂ +  - R₁

U_{1 =} (12)(14)+  – 120 = 126

_·       U₂ = n₁ n₂ +  – R₂

U₂ = (12)(14)+  – 231 = 42

n₁ = 12, R₁ = 120, U₁=126,  n₂ = 14, R₂ = 231, U₂= 42

jadi, yang dipakai U₂ dengan nilai terkecil diantara dua nilai U tersebut yakni 42.

Keputusan       : Tolak H₀ karena U_tabel = 51 lebih besar dari U hitung = 42

Kesimpulan     : Dengan tingkat kepercayaan 95% dapat disimpulkan bahwa ada perbedaan yang cukup berarti dalam rata-rata IQ antara karyawan dikelompok umur 1 dan para karyawan di kelompok umur 2.

4.    Dilakukan penelitian untuk mengetahui adakah perbedaan kualitas manajemen antara Perguruan tinggi yang dianggap favorit oleh masyarakat dan Perguruan Tinggi yang tidak favorit. Penelitian menggunakan sampel 10 Perguruan Tinggi yang dianggap tidak favorit (A) dan 12 Perguruan Tinggi yang dianggap favorit (B). selanjutnya ke dua kelompok perguruan Tinggi tersebut di ukur kualitas manajemennya dengan menggunakan sebuah instrument, yang terdiri dari beberapa butir pertanyaan. Skor penilaian tertinggi 40 dan terendah 0. Data hasil penelitian adalah sebagai berikut :

A : 67 87 90 87 54 67 45 67 87 67

B : 78 90 98 79 67 89 90 89 79 98 78 89

Buktikan hipotesis yang menyatakan bahwa :  Perguruan Tinggi yang favorit dikelola dengan manajemen yang baik. (gunakan α = 0,025)

Jawab :

Berdasarkan hal tersebut di atas maka :

1.    Sampel terdiri dari dua kelompok Perguruan Tinggi yaitu Perguruan Tinggi tidak favorit (kelompok A) = 10. Perguruan Tinggi dan Perguruan Tinggi favorit (kelompok B) = 12 Perguruan Tinggi. 

2.    H₀ : tidak ada perbedaan kualitas manajemen yang signifikan antara perguruan tinggi yang favorit dan tidak favorit.

H₁ : Terdapat perbedaan kualitas manajemen yang signifikan antara perguruan tinggi yang favorit dan tidak favorit.

Kel. A	Nilai kualitas	Rangking	Kel. B	Nilai kualitas	Rangking
1	67	5	1	78	8,5
2	87	13	2	90	19
3	90	19	3	98	21,5
4	87	13	4	79	10,5
5	54	2	5	67	5
6	67	5	6	89	16
7	45	1	7	90	19
8	67	5	7	89	16
9	87	13	9	79	10,5
10	67	5	10	98	21,5
11			11	78	8,5
12			12	89	16
		R1= 81			R2= 172

Dari tabel di atas diperoleh R₁ = 81 dan R₂= 172. Nilai U diperoleh dengan perhitungan:

_·       U₁ = n₁ n₂ +  - R₁

U_{1 =} (10)(12)+  – 81 = 94

_·       U₂ = n₁ n₂ +  – R₂

U₂ = (10)(12)+  – 172 = 26

n₁ = 10, R₁ = 81, U₁=94,  n₂ = 12, R₂ = 172, U₂= 26

Ternyata nilai U₂ < U₁ dengan demikian nilai U yang digunakan untuk membandingkan dengan U tabel adalah U₂. Berdasarkan tabel dengan α = 0,025 (satu arah) atau α = 0,05 (dua arah) dengan n₁ = 10 dan n_{2 =} 12 diperoleh nilai U_α (U tabel) = 29. Ternyata nilai U hitung lebih kecil dari pada U tabel (26 < 29), dengan demikian H₀ ditolak.

Kesimpulan :
Terdapat perbedaan kualitas manajemen yang signifikan antara perguruan tinggi yang favorit dan tidak  favorit.  Berarti Perguruan Tinggi yang favorit dikelola dengan manajemen yang baik.

Contoh soal untuk n₁ dan n₂ > 20

5.    Kita ingin menentukan apakah volume penjualan tahunan yang dicapai salesman yang tidak berpendidikan akademis berbeda dengan volume penjualan yang dicapai oleh salesman yang berpendidikan akademis. Diambil sampel random 10 salesman yang tidak berpendidikan akademis, dan diambil sampel random lain yang independent 21 salesman yang berpendidikan akademis. Dua grup tersebut dipisahkan sebagai grup A (tidak berpendidikan akademis) dan grup B (berpendidikan akademis). Volume penjualan tahunan dari salesman yang tidak berpendidikan akademis (A) dan yang berpendidikan akademis (B) beserta jenjangnya ditunjukkan sebagai berikut:

A: 82, 75, 70, 65, 60, 58, 50, 50, 46, 42

B: 92, 90, 90, 89,86, 85, 83, 81, 81, 78, 76, 73, 72, 71, 68, 67, 66, 64, 63, 52, 41

Ujilah dengan mann-whitney test apakah rata-rata Volume penjualan tahunan salesman kedua kelompok diatas sama? (α=5%)

Jawab:

NoO	AA	RankingRanking	BB	Rankingking	BB	Ranking
1	82	24	92	31	73	18
2	75	19	90	29,5	72	17
3	70	15	90	29,5	71	16
4	65	11	89	28	68	14
5	60	8	86	27	67	13
6	58	7	85	26	66	12
7	50	4,5	83	25	64	10
8	50	4,5	81	22,5	63	9
9	46	3	81	22,5	52	6
10	42	2	78	21	41	1
11			76	20
		R1 = 98				R2 = 398

Karena 43 < 167, jadi yg digunakan U = 43

Keputusan       : Tolak H₀ karena Z_observed <-1,96

Kesimpulan     : Dengan tingkat kepercayaan 95% dapat disimpulkan bahwa volume penjualan tahunan salesman yang tidak berpendidikan akademis tidak sama dengan volume penjualan tahunan salesman yang berpendidikan akademis.

6.    Ujian matematika diberikan kepada sebanyak 20 orang mahasiswa Universitas Terbuka yang dipilih secara random untuk wilayah DKI dan ujian yang sama pula diberikan kepada 15 orang mahasiswa Universitas Terbuka yang dipilih secara random di wilayah Ujungpandang (Sulsel). Dari hasil ujian yang diperoleh di dua tempat (daerah) diatas DKI dan sulsel menunjukkan nilai ujian tiap mahasiswanya sebagai berikut:

No	DKI (grup A)	Sulsel (grup B)
1	70	72
2	63	67
3	78	56
4	71	69
5	82	71
6	93	59
7	96	55
8	61	88
9	72	79
10	63	49
11	56	76
12	82	53
13	66	66
14	76	73
15	67	80
16	61
17	74
18	86
19	64
20	93
21	97

Pengujian tersebut dilakukan untuk mengetahui apakah ada perbedaan penampilan (tingkat kepandaian) mahasiswa Universitas Terbuka pada kedua wilayah diatas. (tingkat= 5% (pengujian dengan dua arah)).

Jawab :

1.    Sampel terdiri dari 21 orang mahasiswa universitas terbuka untuk wilayah DKI dan 15 orang mahasiswa universitas terbuka untuk wilayah ujungpandang (Sulsel). 

2.    Hipotesis
H₀: Tidak ada perbedaan tingkat kepandaian yang signifikan antara mahasiswa universitas terbuka  di wilayah DKI dan mahasiswa universitas terbuka di wilayah Sulsel.

H₁: Ada perbedaan tingkat kepandaian yang signifikan antara mahasiswa universitas terbuka di wilayah  DKI dan mahasiswa universitas tebuka di wilayah Sulsel.

3.    Tabel nilai hasil ujian beserta rangkingnya

No	Grup A	Rangking	Grup B	Rangking
1	70	17	72	20,5
2	63	9,5	67	14,5
3	78	26	56	4,5
4	71	18,5	69	16
5	82	29,5	71	18,5
6	93	33,5	59	6
7	96	35	55	3
8	61	7,5	88	32
9	72	20,5	79	27
10	63	9,5	49	1
11	56	4,5	76	24,5
12	82	29,5	53	2
13	66	12,5	66	12,5
14	76	24,5	73	22
15	67	14,5	80	28
16	61	7,5
17	74	23
18	86	31
19	64	11
20	93	33,5
21	97	36
				R2 = 232

4.    Perhitungan :
Dari tabel di atas diperoleh R₁ = 434 dan R₁ = 232. Nilai U diperoleh dengan perhitungan:

Dari dua nilai U tersebut, ternyata nilai U₁ lebih kecil dari nilai U₂, dengan demikian nilai U yang digunakan dalam perhitungan selanjutnya adalah U₁.

Kesimpulan : Ada perbedaan tingkat kepandaian yang signifikan antara mahasiswa universitas terbuka di wilayah DKI dan mahasiswa universitas terbuka di wilayah Sulsel.

DAFTAR PUSTAKA

Siegel, Sidney. 1997.Statistika Nonparametrik Untuk Ilmu-Ilmu Sosial.PT Gramedia Pustaka Utama. Jakarta.